啊哈!原来如此——说说数学中的趣事

这是一本相当不错的关于数学科普的书籍,“本书从逻辑、数、几何、概率、统计以及时间等6个方面探讨了悖论的产生过程和解读角度”,书中介绍了很多常见而有趣的悖论,如“说谎者悖论”、“理发师悖论”、“芝诺悖论”等等;记得曾经在上西方哲学史的课上,老师在介绍古希腊哲学家们探讨万物本源的时候说,毕达哥拉斯认为“数是万物的本源”,当时就觉得第一次有这个认识的人真不愧是天人,从我的角度看,这是一次认知上质的飞跃,人们开始思考独立于物体表象的一般规律,这也标志着人们开始从感性的思维进入理性的思维。从本书中,更加可以验证以上观点,书中很多数学的谜题从感性的思维上来看是没有任何悖论的,然而通过数学的精准计算,就会洞悉其内在的实质。

举书中的一个例子如下:

把自己的八位生日作为一个数字,打乱顺序,得到另一个数,然后用较大的一个数减去较小的一个数,得到一个新的数,将新数的每一位相加得到下一个数,继续将这个数每一位相加,如此持续,最后结果一定是9。

其实并不一定是自己的生日,初始数字可以是任何数字,如果把这个数中的所有的数字相加,把所得到的数值的各个数字再相加,这个过程一直重复执行到只有一位数字为止。那么这个最后的数字称为原来数值的根数字,这个根数字相当于原数被9除时的余数;因为原来的数和打乱的数有相同的根数字,所以,我们用一个数的根数字减去另一个数的根数字,差是0,在模9的计算中与结果是一样的。简言之,任何一个数,把它的数字顺序打乱,用两者之间较大的减去较小的,这个差的根数字一定是0或9,当且仅当两个数字相同的时候,最后的结果才为0;

基于此,可以衍生出一个魔术,具体如下:

你转过身,让一个朋友写下一张纸币的编号数字(或者任意比较大的数字),这样你就看不到他写的数字是什么。让他打乱这个编号的顺序,然后用两者之中较大的减去较小的。让他在得到的差的各位数字中任意删去一个不为零的数字,然后把其它数字按照任意顺序大声读出来,不用转过身,你就可以准确无误地说出他删掉的那个数字。(差值的根数字是9,因此,可以把差值的数字逐个相加,再用9减去这个和,那么计算的结果就是他删掉的数字。如果最后的和是9,那么他删掉的就是9,注意不能删除0;)

数学高于实际却又源自于实际,比如书中提到一个关于骰子赌博的游戏,自己小时候逛庙会的时候就经常遇到,有时候自己也手痒玩了几把,最后无一例外地全输了。(玩法为:有三颗骰子,玩家在1-6的任何数字下注,晃动骰盅,如果摇到了自己下注的数字,则玩家赢,否则庄家赢。)

再如书中介绍了很多巧合,比如把太阳系的九大行星的单词的第一个字母按照距离太阳的远近写下来,M代表水星,V代表金星等等。其中会出现一个单词“SUN”。然而,实验可以解释为什么在人的一生中会发生如此多的巧合。当这些巧合发生时,就会出现强烈的倾向,认为神秘力量在起作用。对于一个统计学家来说,这样的巧合是极有可能的。在每天发生的大量事件中,某种类型的巧合有数以亿计的发生方式。巧合的性质不被预先指定,这与pie中的未指定的数字排列或者字母任意选择时出现的未指定的单词相类似。一种巧合的出现总是看似不太可能,是偶然发生的。我们忽略的是出现每一个这样的巧合的同时会有几十亿个其他可能出现的巧合没有出现了。这也从一个方面证实了亚里士多德的格言“最不可能的事也是最有可能的事。”

数学是无用的却也是最有用的。

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